Sea $G$ un grupo que contiene un n\u00famero finito de subgrupos. Demuestre que $G$ es finito.
\nSoluci\u00f3n
\nSea $G$ un grupo y $H_1,\\; H_2, \\; \\ldots, H_n$ todos los subgrupos de $G$. Supongamos que $G$ no es finito, entonces
\n$$
\nG\/H_1
\n$$<\/p>\n
Si $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$, entonces $G\/(H \\cap K)$ es isomorfo a un subgrupo del producto directo $G\/H \\times G\/K$.<\/p>\n
Sean $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$, queremos
\n$$
\nG\/(H\\cap K) \\cong \\mbox{ subgrupo de } G\/H \\times G\/K.
\n$$
\nConsideremos la siguiente funci\u00f3n:
\n\\begin{eqnarray*}
\n\\varphi : G & \\longrightarrow & G\/H \\times G\/K \\\\
\ng & \\mapsto & (gH, gK)
\n\\end{eqnarray*}
\nClaramente $\\varphi$ es un Isomorfismo. Ahora, por el primer Teorema de Isomorfismos, tenemos que Im$(\\phi) < G\/H \\times G\/K$ y
\n\\begin{align*}
\n\\mbox{kern }\\varphi &= \\{ g\\in G \\;:\\; \\varphi(g)=e \\}\\\\
\n&= \\{ g\\in G \\;:\\; (gH,\\; gK) = (H,\\; K) \\}\\\\
\n&= H\\cap K.
\n\\end{align*}
\nAs\u00ed
\n$$
\nG\/(H\\cap K) \\cong \\mbox{Im }\\varphi < G\/H \\times G\/K
\n$$<\/p>\n
Sean $G$ un grupo y $H$ un subgrupo de \u00edndice 2. Demuestre que $H$ es normal.<\/p>\n
Sean $G$ y $H$ como arriba, esto es $[G:H]=2$. Queremos $H \\triangleleft G$. Sea $\\varphi$ una funci\u00f3n definida de la siguiente manera
\n\\begin{align*}
\n\\varphi : G & \\longrightarrow G\/H \\\\
\ng & \\longmapsto gH.
\n\\end{align*}
\nNotemos que $\\varphi$ es un homomorfismo bien definido. Entonces se cumple
\n\\begin{align*}
\n\\mbox{kern }\\varphi &= \\{ g\\in G : \\varphi(g) = e \\}\\\\
\n& = \\{ g\\in G : gH = H \\}\\\\
\n& = \\{ g\\in G : g \\in H \\}\\\\
\n& = H %\\triangleleft G
\n\\end{align*}
\nPor otro lado
\n\\begin{align*}
\n\\mbox{Im }\\varphi &= \\{ f(g)\\in G\/H : g\\in G \\}\\\\
\n& = \\{ gH \\in G\/H : g\\in G \\} \\\\
\n& = \\{ H,\\; g_{_0}H \\} = G\/H
\n\\end{align*}
\nLo anterior es por $[G:H]=2$. Por lo tanto $ H \\triangleleft G$<\/p>\n
Sean $G$ un grupo, $H \\leq G$ tal que $G’ \\subseteq H$. Demostrar que $H \\triangleleft G$.<\/p>\n
Sabemos que $G’\\triangleleft G$. Si $G’=H$ el resultado se da. De otra manera, como $G’ \\subset H$ se tiene $G’ \\triangleleft H$. Ahora consideremos lo siguiente: Si $g\\in G$, se cumple que $gG’g^{-1}\\subseteq G’$. Tomemos $g\\in G$ y $h\\in H-G’$, entonces …<\/p>\n
Sean $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ tales que $K \\cap H = \\{e\\}$. Demuestre que para todos $h \\in H$ y $k \\in K$, se tiene que $hk = kh$.<\/p>\n
Sea $H$ y $K$ subgrupos normales de $G$ ajenos. Como $K \\triangleleft G$, se tiene que para todo $h\\in G$, $hK=Kh$ y en particular si $h\\in H$. Entonces
\n\\begin{align*}
\nhK = Kh \\Longrightarrow hk = kh, \\; \\mbox{ con } k\\in K
\n\\end{align*}
\nAn\u00e1logamente ocurre cuando consideramos $H \\triangleleft G$. Por lo tanto para todo $h\\in H$ y $k\\in K$ se cumple $ hk = kh$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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